Razonamiento lógico matemático

Razonamiento lógico matemático

Razonamiento lógico matemático

Actividad 3. Razonamiento lógico matemático

(Actualizado el 25 de junio del 2014)

Propósito:

Utiliza el método de cuatro pasos de Polya para la resolución de problemas de razonamiento lógico-matemático.

Descripción:

Todos los problemas, incluso el más sencillo de resolver, siguen una estructura, y se resuelven por medio de un proceso que se presenta de diferentes formas. La actividad está encaminada a eso precisamente, a que desarrolles una estructura para poder resolver el problema. Para ello, primero debes leer el siguiente planteamiento e identificar los elementos del problema

Telsita, Thalesa, Hipotenusia, Aritmética y Restarin tienen un montón de 100 tarjetas enumeradas del 1 al 100. Como son muy hábiles con los números, se dedican a incluir o quitar del montón aquellas tarjetas según le gusten o no.

Telsita toma las cien tarjetas, y como no le agradan los números pares, los descarta y pasa las tarjetas a Thalesa; éste, que es un amante de los múltiplos de 5, se da cuenta de que le faltan algunos, y los coge de los que Telsita había eliminado, y luego le entrega las tarjetas a Hipotenusia.

Hipotenusia, como está enojada con Telsita y Thalesa, decide deshacerse de ellas y coger las tarjetas que éstos habían descartado, y se los pasa a Aritmética.

Aritmética, tras observarlas, elimina aquellas que son múltiplos de 6 y de 8 porque las considera de mal gusto, y finalmente, se las pasa a Restarin.

A Restarin no le agradan los números primos mayores a 7, así que elimina las tarjetas que tienen como divisor alguno de estos números.

Restarin hace un recuento de las tarjetas que le quedan. ¿Cuántas tarjetas tiene ahora en su poder? ¿Cuál es el mayor número escrito en esas tarjetas?

El planteamiento y las fases de solución del problema

Elementos del problema

 

Elemento Característica
Telsita No le agradan los números pares
Thalesa Amante de los múltiplos de 5
Hipotenusia Enojada con Telsita y Thalesa toma las tarjetas descartadas y las pasa
Aritmética Elimina múltiplos de 6 y de 8
Restarin No le agradan los números primos mayores a 7

 

100 Tarjetas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

 

Resolución del problema.

Paso 1 de Polya – Comprensión del problema.

El problema es identificar que tarjetas toma cada uno de los personajes y que tarjetas le pasan al siguiente personaje para identificar cuantas tarjetas le quedan al final a Restarin y cuál es la mayor.

Al leer el problemas las primeras veces no me quedaba muy claro que tarjetas eran las que se debían pasar, si eran las que escogían o las que escogían eran para quedárselas. Para mí la clave para entender esto después de haber leído muchas veces el problema fue que Telsita le pasa las tarjetas a Thalesa es este toma de las que le quiere de las que Telsita había eliminado.

Después de enviar el trabajo y con y su revisión aprendí que debía considerar que las tarjetas que Aritmética remueve son los múltiplos de “6 y 8” juntos y no considerados de forma individual que seria “6 o 8”.

Paso 2 de Polya – Plan a seguir.

Identificar las tarjetas que cada uno de los personajes recibe y eliminar las tarjetas que se van quedando para conocer cuántas tarjetas le quedan al final a Restarin y cuál es la mayor.

Paso 3 de Polya – Seguimiento del plan

Telsita toma las cien tarjetas:

 

100 Tarjetas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

 

Telesita toma los números nones que le pasa a Thalesa

 

Thalesa
1 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49
51 53 55 57 59
61 63 65 67 69
71 73 75 77 79
81 83 85 87 89
91 93 95 97 99

Y descarta los números pares:

 

Telsita descarta
2 4 6 8 10
12 14 16 18 20
22 24 26 28 30
32 34 36 38 40
42 44 46 48 50
52 54 56 58 60
62 64 66 68 70
72 74 76 78 80
82 84 86 88 90
92 94 96 98 100

 

Thalesa; éste, que es un amante de los múltiplos de 5, se da cuenta de que le faltan algunos, y los coge de los que Telsita había eliminado,

 

Thalesa añade
10 20 30 40 50
60 70 80 90 100

 

Y luego le entrega las tarjetas a Hipotenusia.

 

Hipotenusia Recibe
1 3 5 7 9 10
11 13 15 17 19 20
21 23 25 27 29 30
31 33 35 37 39 40
41 43 45 47 49 50
51 53 55 57 59 60
61 63 65 67 69 70
71 73 75 77 79 80
81 83 85 87 89 90
91 93 95 97 99 100

 

Hipotenusia, como está enojada con Telsita y Thalesa, decide deshacerse de ellas y coger las tarjetas que éstos habían descartado, y se los pasa a Aritmética.

 

Aritmética
2 4 6 8
12 14 16 18
22 24 26 28
32 34 36 38
42 44 46 48
52 54 56 58
62 64 66 68
72 74 76 78
82 84 86 88
92 94 96 98

 

Aritmética, tras observarlas, elimina aquellas que son múltiplos de 6 y de 8 porque las considera de mal gusto.

Esto se puede solucionar encontrando los múltiplos de 6 y de 8 que coinciden

 

Aritmética
2 4 6 8
12 14 16 18
22 24 26 28
32 34 36 38
42 44 46 48
52 54 56 58
62 64 66 68
72 74 76 78
82 84 86 88
92 94 96 98
Multiplos de 6

 

Aritmética
2 4 6 8
12 14 16 18
22 24 26 28
32 34 36 38
42 44 46 48
52 54 56 58
62 64 66 68
72 74 76 78
82 84 86 88
92 94 96 98
Multiplos de 8

 

Por este método encontramos que los números que son múltiplos de 6 y 8 son: 24, 48, 72 y 96

Otra opción para resolver este paso es utilizando el mínimo común multiplicador o MCM y encontrar sus múltiplos. El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Solo se aplica en números naturales, es decir, no se usan decimales, números negativos o números complejos.

Por lo que hacemos el siguiente calculo:

 

MCM de 6

8 2
4 2
2 2
1

 6=2×3

MCM de 8

 

6 2
3 3
1

  8=2x2x2 o 8=2³

 

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

2³x3=

(2x2x2)x3=

8×3=24

El mínimo común múltiplo es 24 por lo que Aritmética remueve los múltiplos de este 24, 48, 72 y 96

Le pasa a Restarin:

 

Restarin
2 4 6 8
12 14 16 18
22 26 28 32
34 36 38 42
44 46 52 54
56 58 62 64
66 68 74 76
78 82 84 86
88 92 94 98

 

A Restarin no le agradan los números primos mayores a 7, así que elimina las tarjetas que tienen como divisor alguno de estos números.

Un divisor se define como:

En matemáticas, básicamente en Aritmética, se dice que un número entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que: b = a · c. Esto es equivalente a decir, que b es «exactamente divisible» por a

Los números divisores mayores de 7 son: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47… al dividir los números que tiene restarin entre estos números primos encontramos que descarta:

 

# Primo Divisor del numero primo
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99
13 13 26 39 52 65 78 91
17 17 34 51 68 85
19 19 38 57 76 95
23 23 46 69 92
29 29 58 87
31 31 62 93
37 37 74
41 41 82
43 43 86
47 47 94
53 53
59 59
61 61
67 67
71 71
73 73
79 79
83 83
89 89
97 97

 

Restarin hace un recuento de las tarjetas que le quedan:

 

Restarin
2 4 6 8
12 14 16 18
28 32 36 42
54 56 64 84
98

 

¿Cuántas tarjetas tiene ahora en su poder?

17

¿Cuál es el mayor número escrito en esas tarjetas?

98

Paso 4 de Polya – Revisar y Verificar

Verificación hacia atrás

Restarin elimina los números primos mayores de 7:

 

# Primo Divisor del numero primo
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99
13 13 26 39 52 65 78 91
17 17 34 51 68 85
19 19 38 57 76 95
23 23 46 69 92
29 29 58 87
31 31 62 93
37 37 74
41 41 82
43 43 86
47 47 94
53 53
59 59
61 61
67 67
71 71
73 73
79 79
83 83
89 89
97 97

 

Pasándole a Aritmética:

 

Aritmética
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 12 14 15 16 18 20
21 24 25 27 28 30 32 35
36 40 42 45 48 49 50 54
56 60 63 64 70 72 75 80
81 84 90 96 98 100

 

Aritmética elimina múltiplos de 6 y 8:

 

Aritmética
24 48
72 96

 

Pasándole a Hipotenusia:

 

Hipotenusia
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 12 14 15 16
18 20 21 25 27 28 30
32 35 36 40 42 45 49
50 54 56 60 63 64 70
75 80 81 84 90 98 100

 

Thalesa y Telsita agregan los números nones y múltiplos de 5 pero Hipotenusia los quita por lo que los números restantes son los mismos obtenidos en la resolución del problema, pudiendo así comprobar la solución:

 

Resultado
2 4 6 8
12 14 16 18
28 32 36 42
54 56 64 84
98

 

¿Qué inconvenientes experimentaste cuando seguiste un proceso para solucionar problemas?

En realidad trabajar con un proceso para solucionar problemas asegura que se cubran los aspectos necesarios para resolver el problema, en ocasiones el inconveniente es que es más largo y complicado que resolverlo solo con el razonamiento inductivo; pero al final te puedes asegurar que el resultado sea correcto.

En el primer paso al buscar entender el problema, me di cuenta que además de ser un reto matemático también era un reto semántico, ya que en un principio no es muy claro si pasan las tarjetas que escogen o las escogen para quedárselas. El primer reto fue entonces entender completamente el problema para crear un plan sin suposiciones que originarían resultados que podrían ser imprecisos.

Al principio pensé que era un inconveniente el tener que trabajar en pequeños lapsos de tiempo ya que tengo otras actividades que realizar y no completaba el problema y al retomar tenía que volver a revisar el problema desde el inicio para entrar en contexto, después me di cuenta que fue una ventaja ya que me permitió identificar errores y hacer varios análisis desde diferentes puntos de vista lo que me hizo comprender cuál era el problema.

Al hacer la comprobación también se me complico comprender como afectaban Telsita y Thalesa pero entendí que no podían agregar cartas porque las había removido Hipotenusia. Al incluir esta premisa todo tuvo sentido.

En la revisión del reto matemático entendí que tuve un error semántico ya que Aritmética quita los múltiplos de 6 y de 8; y no los de 6 y los de 8.

¿Los procesos elegidos fueron adecuados y te facilitaron la comprensión y solución del problema?

A mi parecer los procesos elegidos fueron adecuados ya que me permitieron llegar al resultado correcto y verificarlo. En especial el análisis semántico considero que fue clave para entender completamente el problema.

Referencias:

Método de cuatro pasos de Polya.

Autor: Alek

Mi nombre es Alejandro Lopez Anaya, desde que inicie a publicar en Internet utilizo mi alias Alek Sander. Los temas que me apasionan son conocerte, la tecnología, el desarrollo humano, la música y el deporte. Compárteme tus opiniones y con mis amigos dejando tus comentarios.

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